Postée il y a 4 heures
--- Contexte ---
L'équipe MAX recherche des doctorants sur les thèmes du projet ERC ODELIX : résoudre des équations différentielles de manière rapide, précise et fiable. Ce sujet concerne les applications de ces thèmes à la théorie du contrôle.
--- Description ---
Considérons le modèle d'un système physique, décrit par un système paramétrique d'équations différentielles ordinaires (ÉDOs)
x' = f(x,u),
où x est un vecteur de fonctions d'état et u un vecteur de fonctions de commande. On dit qu'un tel système est plat s'il existe une paramétrisation locale x_i = X_i (z_1, …, z_m), où X_i est une fonction des fonctions z_j et d'un nombre fini de leurs dérivées, et les z_j sont des fonctions du temps qui peuvent être choisies arbitrairement. De plus, les z_j doivent être exprimées comme des fonctions différentielles de l'état et de la commande : z_j = Z_j (x,u). Ces fonctions z_j sont appelées des sorties plates.
Une telle propriété facilite grandement la planification des mouvements, c'est-à-dire la conception d'une commande permettant de passer d'un point de départ donné à un objectif donné.
Une voiture est un exemple classique de système plat, pour lequel les coordonnées de n'importe quel point de l'axe arrière constituent une sortie plate.
Les systèmes génériques ne sont pas plats, mais la platitude est omniprésente en ingénierie, modulo quelques simplifications du modèle. Par exemple, un modèle d'avion classique est plat si l'on néglige les poussées créées par les actionneurs (ailerons, gouvernes de profondeur, gouvernail). La platitude facilite également la conception d'un bouclage qui peut compenser les perturbations mais aussi les erreurs de modèle.
Dans un article récent, il a été proposé d'améliorer le contrôle plat d'un avion en utilisant les valeurs des poussées dues aux actionneurs, fournies par la paramétrisation plate classique, afin de concevoir une nouvelle paramétrisation plus précise. Ce processus peut être répété pour produire une planification très exacte pour le modèle d'avion sans simplification.
L'ordre des dérivées des sorties plates requises pour une telle paramétrisation augmente avec le nombre d'itérations, de sorte que cette paramétrisation plate généralisée dépend potentiellement d'un nombre infini de dérivées. On peut conjecturer que tous les systèmes seraient plats si on autorise des fonctions en un nombre infini de dérivées.
L'objectif est d'étudier cette notion de platitude généralisée. Selon les goûts et les compétences des candidats, cela peut se faire de plusieurs manières, en s'appuyant sur des expériences informatiques ou des investigations théoriques. Évidemment, un certain investissement sur des simulations informatiques sera nécessaire au préalable pour obtenir une intuition reposant sur des connaissances pratiques. On peut considérer par exemple une voiture avec deux remorques, qui est plate si les remorques sont attachées juste au-dessus de l'essieu arrière, mais pas dans le cas général. Une paramétrisation plate généralisée peut être conçue en utilisant des méthodes d'itérations ou d'homotopie, c'est-à-dire en déplaçant lentement les points où les remorques sont attachées.
On peut aussi remarquer que la platitude généralisée permet de paramétrer des systèmes plats, en utilisant une fonction qui n'est pas une sortie réellement plate. Par exemple, y est une sortie plate pour le système x = y' mais pas pour le système x-ϵ x'=y'. Quoi qu'il en soit, on peut utiliser pour les petits ϵ la paramétrisation x = y' + ϵ y'' + ϵ y''' + ...
On peut tirer parti des implémentations existantes dans Maple pour l'aéronautique et utiliser les outils plus efficaces fournis par Mathemagix. Le champ des applications possibles est large et comprend tous les systèmes non plats et tous les systèmes plats pour lesquels on souhaiterait utiliser des ensembles de fonctions alternatifs qui ne sont pas de véritables sorties plates.
L'éventail des défis théoriques est également très large, à commencer par des preuves de convergence. On pourra aussi étudier l'unicité possible de cette paramétrisation plate généralisée.
Contexte de travail
La thèse sera effectuée au laboratoire LIX (Laboratoire d'Informatique de l'École polytechnique), qui se situe dans le bâtiment Alan Turing, 1, rue Honoré d'Estienne d'Orves, Palaiseau. La thèse sera effectuée dans l'équipe MAX de calcul formel et financée par le project ERC ODELIX. La candidate ou le candidat disposera d'un poste de travail et de moyens pour assister à quelques conférences par an.
Contraintes et risques
Néant.